Ceros polinomiales y/o ecuaciones de grado superior.
Sea $$P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+a_{n-3}x^{n-3}+\cdots+a_1x+a_0$$ un polinomio cualquiera con coeficientes reales o complejos, entonces se dice que \(x=c\) es un cero o raíz de \(P(x\) si \(P(c)=0. Determinar los ceros, de un polinomios, es determinar todos los valores para los cuales el polinomio es cero.
En este punto ya se han estudiados ecuaciones lineales y cuadráticas, el siguiente nivel lo constituyen las ecuaciones de grado superior, se dice que una ecuación es de grado superior si su grado es mayor que dos, así las ecuaciones de grado tres o más son consideradas ecuaciones de grado superior.
Existen diversos métodos para la resolución de ecuaciones de grado superior, en el caso de las ecuaciones cúbicas (grados tres) existe la fórmula cúbica presentada por Cardano en el siglo XVI, sin embargo, con el pasar de los años esta fórmula ha sido relegada al olvido ya que, comparada con la fórmula cuadrática, resulta muy laboriosa la aplicación de la fórmula de Cardano, por lo cual se presenta la resolución de todas las ecuaciones de grado superior mediante el uso de la regla de Ruffini, el teorema del residuo, teorema del factor, factorización de trinomios y/o fórmula cuadrática para algunos casos en los cuales un polinomio posee ceros (raíces) que son irracionales y se hace necesario el uso de la ecuación general de segundo grado, para su complementación.
Del teorema fundamental del álgebra, un polinomio de grado n tiene n raices reales o compleja, las cuales pueden tener o no multiplicidad (que una raíz se repita). Esto es, si \(P\left(x\right)=a_5x^5+\cdots+a_1x+a_0\) entonces existen exactamente cinco raíces.
Clasificación de soluciones. Si todos los valores que hacen verdadero una ecuación pertenecen al conjunto de los reales \mathbb{R} se dice que las soluciones son reales, mientras que si existe alguna solución que esté fuera del conjunto de los reales, se dice que las soluciones son complejas.
Además de la clasificación de reales y complejas, según el conjunto numérico al que pertenezcan las raíces reales de un polinomio pueden ser racionales o irracionales. Para los ceros irracionales si un valor \(x+\sqrt{n}\) es un cero (raíz) del polinomio, entonces su conjugado \(x-\sqrt{n}\) también es raíz del polinomio, como se verá en algunos ejemplos.
Un caso especial de ecuaciones de grado superior son las llamadas ecuaciones bicuadráticas las cuales se estudian a continuación.
Ecuaciones bicuadráticas.
Algunas veces al trabajar con ecuaciones de grado mayor que dos (grado superior) las ecuaciones toman la forma \(ax^{2n}+bx^n+c=0\) las cuales se denominan “ecuaciones bicuadráticas”, y se pueden tener varios casos. Note que \(ax^{2n}+bx^n+c=0\) tiene la forma de la ecuación general de segundo grado en su forma \(ax^2+bx+c=0,\) por lo cual se puede considerar de manera natural resolver usando factorización o la fórmula general en la forma,
\(x^n=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
y luego resolver para x^n obteniendo así el valor de \(x.\) Otras manera de resolución son el método de completar el t.c.p., o mediante el uso de y o ceros polinomiales mediante la ya conocida regla de Ruffini, lo cual se explica más adelante en la próxima sección.
Si \(a=1\) el trinomio se escribe como \(x^{2n}+bx^n+c=0\) y su factorización (si es posible) es de manera sencilla en la forma, $$(x^n\ {\rm "signo\ de} \ b"\ h)(x^n\ {\rm "producto\ de\ los\ signos\ de}\ bc"\ k)=0$$ donde como de costumbre las cantidades \(h\) y \(k\) deben cumplir las condiciones, \(hk=c\) y además \(h+k=b\) o \(h-k=b\) según los signos de \(h\) y \(k,\) de no existir \(h\) y \(k\) que cumplan las condiciones el trinomio no es factorizable y se debe usar uno de los métodos que se expresó más arriba.
Si \(a\neq1\) se puede considerar factorizar \(ax^{2n}+bx^n+c=0\) como si fuera un trinomio \(ax^2+bx+c=0\) y factorizarlo por multiplicación y división o cualquier otro método deseado hasta tener despejado completamente el valor de \(x.\) A continuación, se ilustran estos casos.
Ejemplo 1. Una ecuación bicuadrática. Resolver \(x^4-5x^2+4=0\)
Solución: \(x^4-5x^2+4\) es un trinomio \(x^{2n}-bx^n+c\) de donde se tiene.
\begin{align}
&\left(x^2-h\right)\left(x^2-k\right)=0\\
&\left(x^2-4\right)\left(x^2-1\right)=0\\
&\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0\\
\begin{array}{l}
x+2=0⟹x=-2\\
x-2=0⟹x=2\end{array} ~~~~~\begin{array}
x-1=1⟹x=-1\\
x+1=-1⟹x=1 \end{array}\end{align}
Ejemplo 2. Una ecuación bicuadrática. Resolver \(x^4-7x^2-8=0.\)
Solución: intentando factorizar el trinomio como \(\left(x^2-h\right)\left(x^2-k\right)=0\) no existen números \(h\) y \(k\) que multiplicados sean ocho y sumados siete, por tanto, se recurre a la fórmula general.
\begin{align}
&x^2=\ \frac{-\left(-7\right)\pm\sqrt{\left(-7\right)^2-4\left(1\right)\left(-8\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{7\pm\sqrt{49+32}}{2}\\
&x^2=\frac{7\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{7\pm9}{2}\Longrightarrowx2=4x2=-1\\
\begin{array}{l}
x^2-4=0⟹(x+2)(x-2)=0\\
x^+2+1=0 {\rm no\ es\ factorizable.}\end{array}\end{align}
De \(\left(x+2\right)\left(x-2\right)=0\) se tiene \(x_1=-2\) y \(x_2=2\).
Resolviendo \(x^2+1=0\) por fórmula general, para \(a=1;\ b=0\) y \(c=1.\)
$$x=\frac{\pm\sqrt{-4\left(1\right)\left(1\right)}}{2}=\pm i$$
Por tanto, se concluye que las raíces de \(x^4-7x^2-8=0\) son \(x_1=-2,\ \ x_2=2,\ \ x_3=-i\) y \(x_4=i\)
Ejemplo 3. Resolver \(x^4-7x^2+10=0\) Solución: factorizando el trinomio se tiene, \(\left(x^2-5\right)\left(x^2-1\right)=0\) que factorizado otra vez es \(\left(x-\sqrt5\right)\left(x+\sqrt5\right)\left(x-1\right)\left(x+1\right)=0.\) entonces, igualando a cero cada factor resultan las raíces (ceros polinomiales), \(x_1=\sqrt5\ ;\ x_2=-\sqrt5;\ x_3=1;\ x_4=-1\)
Ejemplo 4. Resolver para el conjuntos de los reales \(x^6+15x^3-16=0\)
Solución: factorizando el trinomio se tiene \(\left(x^3+16\right)\left(x^3-1\right)=0\) que igualando a cero es,
x^3+16=0 ⟹x=\sqrt[3]{-16}=-232x3-1=0 ⟹x3=1 ⟹x=31=1
que son la únicas soluciones reales.
Multiplicidad de raíces.
Como ya se ha dicho para un polinomio entero-racional si P\left(c\right)=0 entonces c es un cero o raíz del polinomio. Si las raíces del polinomio son reales representan los puntos de intersección de su gráfica con el eje de abscisas (eje horizontal), por tal razón ofrecen información acerca de cuántas veces la gráfica del polinomio y para cuales valores toca dicho eje. Si las raíces son complejas entonces geométricamente carecen de significado.
Sea P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a¬1x+a0 un polinomio racional, entonces los posibles ceros racionales de \mathbit{P}\left(\mathbit{x}\right) son de la forma p/q=\frac{factores\ de\ a_0\ }{factores\ de\ a_n} donde a_0 es el término independiente y a_n es el coeficiente principal.
Se dice que un valor \mathbit{x}=\mathbit{c} es un cero de multiplicidad \mathbit{n} de un polinomio P(x) cuando el polinomio contiene el factor x-c ene veces, esto es P(x) puede escribirse como P\left(x\right)=\left(x-c\right)^n\left(x-r\right)\ldots
Así, por ejemplo, P\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x+5\right) tiene por raíces x=3 y x=-5 cada una de las cuales tiene multiplicad uno, en cambio P\left(x\right)=\left(x-3\right)^3\left(x+5\right)^2\left(x-1\right) tiene por raíces x=3 de multiplicidad tres, x=-5 de multiplicidad dos y x=1 de multiplicidad uno, esto es,
P\left(x\right)=\left(x-3\right)\left(x-3\right)\left(x-3\right)\left(x+5\right)\left(x+5\right)\left(x-1\right).
Para determinar los ceros polinomiales (raíces del polinomio) si el polinomio es de grado mayor que do, por lo general se utiliza la regla de Ruffini para determinar los cero racionales hasta convertir (si es posible) el polinomio en una expresión cuadrática y luego se utiliza la factorización o fórmula general para los últimos dos ceros, al igual que como se hizo al trabajar con las ecuaciones bicuadráticas, desde luego que las ecuaciones bicuadráticas estudiadas en la sección anterior también pueden ser tratadas con los conceptos que se discuten en este apartado por ser polinomios de grado mayor que dos.
Regla de Descartes.
Para iniciar con el estudio de la determinación de ceros polinomiales en expresiones que no son bicuadráticas, se inicia con una sencilla, pero útil regla llamada regla de Descartes la cual brinda información sobre la naturaleza de las raíces del polinomio, la misma se resume a continuación.
Regla de los signos de Descartes
Si P\left(x\right)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+\cdots+a_1x+a_0 entonces:
1. El número de raíces reales positivas de P(x) es igual al número de cambio de signos en P(x) o este número disminuido en un factor par.
2. El número de raíces reales negativas de P(x) es igual al número de cambio de signo en P(-x), o este número disminuido en un factor par.
Ejemplo 1. Resolver x^5-2x^4-5x^3+72+10x^2-36x=0 y escribir la factorización total del polinomio.
Solución: de la forma estándar P\left(x\right)=x^5-2x^4-5x^3+10x^2-36x+72 el cual tiene cuatro cambios de signos, entonces hay cuatro raíces racionales positivas, dos, o cero. P(-x)=-x^5-2x^4+5x^3+10x^2+36x+72 tiene un solo cambio de signo, por tanto, solo hay racional negativa.
Raíces 5 5 5
\mathbb{R}^+ 4 2 0
\mathbb{R}^- 1 1 1
\mathbb{C}\ \ \ 0 2 4
Resolviendo P\left(x\right)=1x^5-2x^4-5x^3+10x^2-36x+72 por Ruffini los posibles ceros racionales están dados por,
\sfrac{p}{q}={\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm8,\pm9,\pm12,\pm18,\pm24,\pm36,\pm72}
La solución se presenta en la página siguiente.
1 -2 -5 +10 -36 +72 Como r(x)=0, c_1=2 es un cero de P(x)
2 \Downarrow +2 0 -10 0 -72
1 0 -5 0 -36 0
3 \Downarrow +3 +9 +12 +36 Como r\left(x\right)=0, entonces c_2=3 es cero de P(x).
1 +3 +4 +12 0
-3 \Downarrow -3 0 -12 Como r(x)=0, c_3=-3 es cero de P(x).
1 0 +4 0
Note que ya se han cumplido las condiciones esperadas por la regla de los signos de Descartes, entonces resolviendo 1x^2+0x+4=0\Longrightarrow x^2+4=0 por fórmula general se tiene x=\pm2i. Luego la forma factorizada es,
P\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x-3\right)\left(x+3\right)\left(x+2i\right)\left(x-2i\right)
Ejemplo 2. Determinar los ceros P(x)=2x^3+11x^2+3x-36.
Solución: como P(x) es entero-racional los posibles ceros son de la forma \frac{factores\ \ de\ 36}{factores\ \ de\ 2}, de donde los posibles p/q son,
p/q={\pm1/2,\pm1,\pm3/2,\pm2,\ \pm3,\pm4,\pm9/2,\pm9,\pm12,\pm18,\ \pm36}.
Aplicando la regla de Ruffini se tiene,
2 +11 +3 -36 r\left(x\right)=0 entonces c_1=-3 es un cero.
-3 \Downarrow -6 -15 +36
2 5 -12 0
-4 \Downarrow -8 +12 r(x)=0 así que los ceros son c_1=-3,
\ \ c_2=-4 y c_3=\sfrac{3}{2}
2 -3 0
Ejemplo 3. Determinar los ceros de P(x)=x^4-3x+6+x^3-5x^2
Solución: aplicando Ruffini para P(x)=1x^4+1x^3-5x^2-3x+6 los posibles ceros son \pm1;\ \pm2;\ \pm3;\ \pm6. c_1=1 es un cero por ser la suma de los coeficientes de P(x) igual a uno.
1 +1 -5 -3 +6 c_1=1 es cero y \left(x-1\right) es factor de P(x) que puede escribirse como,
P(x)=\left(x-1\right)\left(x^3+2x^2-3x-6\right)
1 \Downarrow +1 +2 -3 -6
1 +2 -3 -6 0
-2 \Downarrow -2 0 +6 c_2=-2, es cero de P(x) que se puede escribir
P(x)=\left(x-1\right)\left(x+2\right)\left(x^2-3\right)
1 0 -3 0
Resolviendo el cociente x^2-3=0 se tiene\ \ \left(x-\sqrt3\right)\left(x+\sqrt3\right)=0
De donde los ceros del polinomio escritos de forma ordenadas son,
{1,-2,\sqrt3-\sqrt3}\Longrightarrow{-2,-\sqrt3+1+\sqrt3}
Ejemplo 4. Determinar los ceros de P(x)=x^5+x^4-16x-16.
Solución: P(x) está ordenado, pero no completo, reescribiendo como,
P(x)=1x^5+1x^4+0x^3+0x^2-16x-16 para la regla de Ruffini.
1 +1 +0 +0 -16 -16 c_1=-1 es un cero y (x+1)\ es factor.
-1 \Downarrow -1 +0 +0 +0 +16
1 +0 +0 +0 -16 1
2 \Downarrow +2 +4 +8 +16 c_2=2 es un cero, y por tanto (x-2)\ es factor.
1 +2 +4 +8 +0
-2 \Downarrow -2 -0 -8 c_3=-2 es un cero, y (x+2)\ es factor.
1 0 +4 0
Aplicando ahora la fórmula cuadrática para 1x^2+0x+4=0,
x=\frac{-\left(0\right)\pm\sqrt{\left(0\right)^2-4\left(1\right)\left(4\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{\pm\sqrt{-16}}{2}\Longleftrightarrow x=\pm2i
De donde P\left(x\right) posee tres ceros reales {-2,-1,\ 2} y dos complejos {-2i,\ 2i}. Su forma factorizada es P\left(x\right)=\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)\left(x+2i\right)\left(x-2i\right).
Ejemplo 5. Determinar los ceros de la expresión x^3+64=0.
Solución: reescribiendo la expresión como x^3+4^3=0 y usando u^3+v^3=(u+v)(u^2-uv+v^2) se tiene (x+4)(x^2-4x+16)=0.
x+4=0⟺x1=-4 x2-4x+16=0 que resolviendo por fórmula general produce
x=\frac{-\left(-4\right)\pm\sqrt{\left(-4\right)^2-4\left(1\right)\left(16\right)}}{2\left(1\right)}=\frac{4\pm\sqrt{16-64}}{2}
x=\frac{4\pm\sqrt{-48}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16(3)(-1)}}{2}
x=\frac{4\pm4\sqrt3i}{2}\Longrightarrowx2=2+23ix3=2-23i
Así que los ceros del polinomio son \{-4,\ 2-2\sqrt3i,\ 2+2\sqrt3i\}.
Para finalizar el apartado dos ejemplos con un nivel de dificultad un poco más elevado, si es necesario vuelva a releer los contenidos estudiados hasta ahora.
Ejemplo 6. Determinar todos los ceros, de la ecuación z^4+1=0
Solución: escribiendo z^4=-1 se tiene que z^4=\left(-1,\ 0\right) de donde en forma polar z^4=\cos{\pi}+i\sin{\pi} y se deben determinar las raíces cuarta, dadas por,
w_k=r^\sfrac{1}{n}\left[\cos{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}+i\sin{\left(\frac{\theta+2k\pi}{n}\right)}\right]\ para\ k=0,\ 1,\ 2\ y\ 3
w_0=\left[\cos{\left(\frac{\pi+2\left(0\right)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2\left(0\right)}{4}\right)}\right]=\sqrt2\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)
w_1=\left[\cos{\left(\frac{\pi+2\left(1\right)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2\left(1\right)\pi}{4}\right)}\right]=\sqrt2\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\right)
w_2=\left[\cos{\left(\frac{\pi+2\left(2\right)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2\left(2\right)\pi}{4}\right)}\right]=\sqrt2\left(-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)
w_3=\left[\cos{\left(\frac{\pi+2\left(3\right)\pi}{4}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2\left(3\right)\pi}{4}\right)}\right]=\sqrt2\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i\right)
Ejemplo 7. Determinar todos los ceros de la ecuación z^5+32=0
Solución: tenga cuidado al proceder en la manera z^5=-32\Longrightarrow z^5=-2^5 y por tanto z=-2. Al hacer esto solo se ha determinado una de las raíces, aún faltan cuatro más. Al igual que en el ejemplo anterior escriba z^5=-32 de donde en forma polar z^5=(-32,\ 0)=32(\cos{\pi}+i\sin{\pi}) sus raíces están dadas por,
w_0=2\left[\cos{\left(\frac{\pi+2\left(0\right)\pi}{5}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2\left(0\right)\pi}{5}\right)}\right]=2e^{i\sfrac{\pi}{5}}
w_1=2\left[\cos{\left(\frac{\pi+2(1)\pi}{5}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2(1)\pi}{5}\right)}\right]=2e^{i3\sfrac{\pi}{5}}
w_2=2\left[\cos{\left(\frac{\pi+2(2)\pi}{5}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2(2)\pi}{5}\right)}\right]=-2
w_3=2\left[\cos{\left(\frac{\pi+2(3)\pi}{5}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2(3)\pi}{5}\right)}\right]=2e^{i7\sfrac{\pi}{5}}
w_4=2\left[\cos{\left(\frac{\pi+2(4)\pi}{5}\right)}+i\sin{\left(\frac{\pi+2(4)\pi}{5}\right)}\right]=2e^{i9\sfrac{\pi}{5}}
Como puede notar algunas veces se necesita un trabajo arduo para la determinación de los ceros de polinomio, sin embargo, el trabajo constante y la práctica son las herramientas para un buen desarrollo matemático.